Développer et factoriser

Concepts: réduire, décomposer, développer, identités remarquables, factoriser, forme factorisée, forme canonique

Réduire une expression

Réduire une expression, c’est regrouper les termes de même degré et même inconnue entre eux.

Décomposer une expression

Décomposer une expression, c’est éclater un terme en plusieurs termes:
```
10x = 6x + 4x
```

Développer

Développer une expression, c’est appliquer la distributivité.

Exemple 1):

Exemple 2):

Exemple 3):

Identiques remarquables

Les identiques remarquables sont des formules (à connaître par coeur)
qui permettent d’accélerer le développement (et aussi l’inverse, la factorisation) d’une expression:

Exemple (a + b)(a - b):

Exemple (a + b)²:

Exemple (a - b)²:

Factoriser

Factoriser une expression, c’est la réecrire sous la forme d’un produit.

Forme factorisée: ax² + bx + c ⇒ (Ax + B)(Cx + D)

On dit qu’une équation est sous forme factorisée lorsqu’elle s’exprime sous forme de produits.
Pour mettre un polynôme de la forme ax² + bx + c sous forme factorisée:
1. Trouver les deux entiers dont la somme est b et le produit est ac.
  (faire la liste des paires d’entiers dont la somme est b, et chercher celle dont le produit est ac).
```
 Factoriser 3x² + 10x + 8

 m + n = 10
 m × n = 3×8 = 24

 6+4 = 10
 6×4 = 24
```
2. Utiliser ces deux entiers pour décomposer le terme x
```
 3x² + 4x + 6x + 8
```
3. Factoriser séparemment les deux premiers termes et les deux derniers.
```
   3x² + 4x + 6x + 8
 = x(3x + 4) + 2(3x + 4)
 = (3x + 4)(x + 2)
```
Il n’est pas toujours possible d’utiliser cette méthode de factorisation. Par exemple pour le polynôme 2x² + 2x + 1, il faudrait trouver des entiers dont la somme est 2 et dont le produit est 2×1 = 2, or il n’y en a pas. Si on ne peut pas utiliser cette méthode, c’est que la factorisation du polynôme n’est pas de la forme (Ax + B)(Cx + D) — où A,B,C,D sont des entiers.

Plus d'exemples
Exemple a: Exemple b: Exemple c:

Forme factorisée: ax² - b => (Ax - B)(Ax + B)

Pour mettre un polynôme de la forme a² - b² sous forme factorisée:
On se sert de l’identité remarquable (a + b)(a - b).

Factoriser x² - 49y²:

x² - 49y² = (x - 7y)(x + 7y)

Factoriser 45x² - 125:

  45x² - 125
= 5(9x² - 25)
= 5(3x - 5)²

Forme canonique: ax² + bx + c ⇒ (Ax + B)² + C

On dit qu’une équation sous forme canonique lorsqu’elle s’exprime sous forme d’un carré et d’une constante. Pour mettre un polynôme de la forme ax² + bx + c sous forme canonique:

Diviser tous les termes par a pour que le coefficient de x² soit égal à 1

 Mettre l'équation 3x² + 18x + 6 = 0 sous forme canonique.

 3x² + 18x + 6 = 0
   x² + 6x + 2 = 0

Ajouter et retrancher (b/2)²

 (b/2)² = (6/2)² = 36/4 = 9

 x² + 6x + 9 - 9 + 2 = 0

Factoriser les trois premiers termes et réduire les deux derniers
```
 (x + 3)² - 7 = 0
```

Plus d'exemples

Mettre x² - 4x = 5 sous forme canonique.

x² - 4x + 4 - 4 - 5 = 0
      (x² - 2)² - 9 = 0

Mettre -2x² + 8x + 8 sous forme canonique.

-2(x² - 4x - 4)
-2(x² - 4x + 4 - 4 - 4)
-2((x - 2)² - 8)
-2(x - 2)² - 16

Mettre 2x² + 11x + 15 sous forme canonique.

2(x² + 11/2x + 15/2)
2(x² + 11/2x + 121/16 - 121/16 + 15/2)
2((x + 11/4)² - 121/16 + 120/16)
2((x + 11/4)² - 1/16)
2(x + 11/4)² - 1/8

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