Résoudre une équation

Concepts: opérations réciproques, résoudre, théorème fondamental

Opérations réciproques

Des opérations réciproques sont des opérations qui se neutralisent l’une l’autre.

La soustraction est l’opération réciproque de l’addition.
```
x + 3 - 3 = x
x - 2 + 2 = x
```
La division est l’opération réciproque de la multiplication.
```
x ⋅ 3 / 3 = x
x / 4 ⋅ 4 = x
```

Résoudre une équation de 1er degré

Résoudre une équation (ou trouver les racines du polynôme), c’est trouver trouver la ou les solutions de l’équation
— c’est à dire trouver les valeurs qui rendent l’égalité vraie.

Pour chercher la solution d’une équation, on doit isoler l’inconnue d’un côté du signe égal. Pour ce faire, on utilise les opérations réciproques.

Par exemple: Si on enlève des éléments à gauche, on en enlève à droite, de sorte qu’on ait pas changé l’égalité. L’addition et la soustraction s’annulent, donc on remplace en quelque sorte une addition d’un côté par une soustraction de l’autre côté.
```
k + 22 = 29
k + 22 - 22 = 29 - 22
k = 7
```
```
p - 18 = 3
p - 18 + 18 = 3 + 18
p = 21
```
```
  6t = 54
6t/6 = 54/6
   t = 9
```
```
 x/5 = 7
5x/5 = 5⋅7
   x = 35
```
Plus d'exemples
Exemple a: Exemple b: Exemple c: Exemple d:
C’est toujours bien de vérifier son résultat. Pour ce faire, on remplace l’inconnue par la solution trouvée dans l’équation initiale. On utilise le symbole ≟ à la place de = tant qu’on ne sait pas si l’égalité est vraie ou fausse. Ensuite, on effectue les calculs et on vérifie que l’égalité est bien vraie — donc que la solution trouvée est bonne.

Résoudre une inéquation

Comme dans le cas d’une équation, pour résoudre une inéquation, il faut isoler la variable et on utilise pour ça les opérations réciproques.

Alice gagne 10 + x de l'heure, où x représente son pourboire.  
Elle travaille pendant 4 heures, combien de pourboire doit-elle
gagner en moyenne par heure pour avoir au moins 60€?

4(10 + x) >= 60
40 + 4x >= 60
4x >= 20
x >= 5

Alice doit gagner au moins 5€ de pourboire par heure  
pour avoir 60€ à la fin de la journée.

Il y a cependant une subtilité: quand on multiplie (ou divise) par un nombre négatif, alors on change le sens de l’inéquation:
```
     3 > 2
= -1⋅3 < -1⋅2
=   -3 < -2
```
Exemple:

Résoudre une équation de 2nd degré

Il y a différentes manières de procéder:

Forme canonique

Écrire l’équation sous forme x² = a²:
x²=a² équivaut à x=a ou x=-a.

Le symbole ± (plus ou moins) est un raccourci pour noter deux nombres opposés.
Ex: ±6 signifie 6 ou -6.

 Résoudre l'équation 3x² - 7 = 5:

 3x² - 7 = 5
     3x² = 12
      x² = 4
      x² = 2²

 L'équation a deux solutions: x=±2

 Résoudre l'équation (x - 3)² - 81 = 0:

 (x - 3)² - 81 = 0
      (x - 3)² = 81
      (x - 3)² = 9

 Solution 1:
   x - 3 = 9
       x = 12

 Solution 2:
   x - 3 = -9
       x = -6

 L'équation a deux solutions: x=12 et x=-6

 Résoudre x² + 6x + 2 = 0:

 x² + 6x + 9 - 9 + 2 = 0
        (x + 3)² - 7 = 0
            (x + 3)² = 7
               x + 3 = ±√7

 Solution 1:
   x + 3 = √7
       x = √7 - 3
         ≈ -0.35

 Solution 2:
   x + 3 = -√7
       x = -√7 - 3
         ≈ -5.65

Forme factorisée

Écrire l’équation sous forme de produits:
Pour qu’un produit soit égal à 0, il faut qu’un des deux termes soit égal à 0.

 Résoudre l'équation (2x - 1)(x + 4) = 0:

 Solution 1:
   2x - 1 = 0
       2x = 1
        x = 1/2

 Solution 2:
   x + 4 = 0
       x = -4

 L'équation a deux solutions: x=1/2 et x=-4

 Résoudre l'équation x² - 5x + 6 = 0:

    x² - 5x + 6 = 0
 (x - 2)(x - 3) = 0

 Solution 1:
   x - 2 = 0
       x = 2

 Solution 2:
   x - 3 = 0
       x = 3

 L'équation a deux solutions: x=2 et x=3

Forme réduite

Écrire l’équation sous forme réduite et utiliser la formule des racines:

 Résoudre x² + 4x - 21 = 0:

 a = 1
 b = 4
 c = -21

 Solution 1:
   x = ( -4 + √(4² -4(1×-21)) )/2
     = (-4 + √(16 + 84))/2
     = (-4 + √100)/2
     = (-4 + 10)/2
     = 6/2
     = 3

 Solution 2:
   x = (-4 - 10)/2
     = -14/2
     = -7

  L'équation a deux solutions: x=3 et x=-7

 Résoudre -3x² + 12x + 1 = 0:

 a = -3
 b = 12
 c = 1

 Solution 1:
   x = (-12 + √(12² - 4(-3)))/(2⋅-3)
     = (-12 + √(144 + 12))/(-6)
     = (-12 + √156)/(-6)
     = (-12 + 2√39)/(-6)
     = 2 - √(39)/3
     ≈ -0.08

 Solution 2:
   x = 2 + √(39)/3
     ≈ 4.08

 L'équation a deux solutions: x=2-√(39)/3 et x=2+√(39)/3

L’expression b² - 4ac, qui est sous le radical dans la formule des racines,
s’appelle le discrimant du trinôme ax² + bx + c.

Si le discriminant est positif, l’équation ax² + bx + c a deux racines réelles distinctes.
S’il est égal à 0, l’équation a une racine réelle.
S’il est négatif, l’équation n’a pas de racine réelle.
```
Déterminer le nombre de racines du polynôme du second degré
x² + 14x + 49 = 0, puis résoudre l'équation

a = 1
b = 14
c = 49

  b² - 4ac
= 14² - 4(1⋅49)
= 196 - 196
= 0

L'équation a une solution.

Solution:
x = (-b ± 0)/2a
  = -14/2
  = -7

La solution de l'équation est x=-7
```

Autres

Passer par un changement de variable.

 Résoudre (x² + 4)² - 11(x² + 4) + 24 = 0

 On pose p = x² + 4:
   p² - 11p + 24 = 0

 On résout cette équation:
    p² - 11p + 24 = 0
   (p - 8)(p - 3) = 0

 p a deux solutions: x=8 et x=3  
 Donc les solutions de l'équation initiale sont
 x² + 4 = 8 et x² + 4 = 3

 Solution 1:
   x² + 4 = 8
       x² = 4
       x² = 2²

 Solution 2:
   x² + 4 = 3
       x² = -1
   n'a pas de solution réelle

 L'équation a deux solutions réelles: x=±2

Théorème fondamental

Tout polynome de degré n peut se factoriser sous la forme de n produits de polynomes de premier degré fois une constante k. Ainsi, un polynome de degré n a n racines — mais toutes les racines ne sont pas forcemment distinctes. Ces racines appartiennent à l’ensemble complexe, ou autrement dit, on inclut les nombres imaginaires.

Exemple:
x² - 1 a deux racines réelles: ±1
x² a deux racines réelles: ±0
x² + 1 a deux racines complexes: ±i
Les racines complexes viennent toujours par paire:
si a + bi est solution, alors a - bi est également solution.

Résoudre une équation de degré > 2

Pour résoudre une équation de degré supérieur à 2, il faut écrire l’équation sous forme factorielle.

Résoudre p(x) = 2x⁵ + x⁴ - 2x - 1

      2x⁵ + x⁴ - 2x - 1 = 0
x⁴(2x + 1) + -1(2x + 1) = 0
       (2x + 1)(x⁴ - 1) = 0

Solution 1:
  2x + 1 = 0
       x = -1/2

Solution 2:
  x⁴ - 1 = 0
      x⁴ = 1
       x = ±1

Résoudre p(x) = x⁵ + 9x³  - 2x³ - 18x

      x⁵ + 9x³ - 2x³ - 18x = 0
    x(x⁴ + 9x² - 2x² - 18) = 0
x(x²(x² + 9) + -2(x² + 9)) = 0
         x(x² - 2)(x² + 9) = 0

Solution 1:
  x = 0

Solution 2:
  x² - 2 = 0
      x² = 2
       x = ±√2

Solution 3:
  x² + 9 = 0
      x² = -9
       x = ±3i

Résoudre p(x) = (3x⁴ - 8x³ + 15x - 40)(3x - 8)²

  3x⁴ - 8x³ + 15x - 40 = 0
x³(3x - 8) + 5(3x - 8) = 0
      (x³ + 5)(3x - 8) = 0

Solution 1:
  3x - 8 = 0
       x = 8/3

Solution 2:
  x³ + 5 = 0
      x³ = -5
       x = (-5)^(1/3)
       x ≈ -1.71

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