Fonctions composées

Concepts: fonction composée, fonction réciproque

Fonction composée

Une fonction composée est une fonction qui prend en entrée le résultat d’une autre fonction.
Exemple: y = f(g(x)). f(g(x)) s’appelle la composée de g suivie de f.
Plutôt qu’imbriquer les fonctions les unes dans les autres,
on utilise généralement la notation (f ∘ g)(x) — se lit “f rond g”.
Pour lire l’image d’une fonction composée sur un graphique,
1. on commence par chercher l’image de la première fonction executée (la plus à droite).
  Exemple: pour lire l’image de f(g(8)), on lit g(8) (=2)
2. on cherche l’image de la deuxième fonction executée, avec pour paramètre l’image obtenue précédemment. Exemple: on lit f(2) (= -3)
3. si la fonction est composée de plus de deux fonctions, on continue jusqu’à la dernière. Le résultat de la fonction composée est le résultat de la dernière fonction qui la constitue.
  Exemple: f(g(8)) = f(2) = -3

Plutôt que de garder une liste de fonctions, on peut calculer l’expression de la fonction composée:

Soit f(x) = 3x - 1, et g(x) = x³ + 2
Quelle est l'expression de f(g(x))?

f(g(x)) = 3(x³ + 2) - 1
        = 3x³ + 6 - 1
        = 3x³ + 5

Fonction réciproque

Des fonctions réciproques sont des fonctions qui se neutralisent l’une l’autre: si on passe l’image de f à g, on retrouve le paramètre de f, et inversemment — en termes mathématiques: f(g(x)) = g(f(x)) = x.
Par exemple, f(x) = x/3 est la fonction réciproque de g(x) = 3x
La réciproque de la fonction f se note f^-1. Attention, puisqu’on l’applique sur une fonction, il ne s’agit pas d’une puissance mais bien de la réciproque — l’inverse d’une fonction se note 1/f.
Graphiquement, une fonction et sa réciproque sont symétriques par rapport à l’axe y = x.
Pour démontrer que des fonctions sont réciproques, on démontre que (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) = x:

Trouver la fonction réciproque

Une fonction n’admet une réciproque que si chaque image a une unique antécédant.
Exemple: la fonction carré n’admet pas de réciproque.

On peut facilement voir si une fonction admet une réciproque ou non en regardant son graphique. C’est ce qu’on appelle parfois le “test de la droite horizontale”: une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d’intersection avec toute parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple: la fonction cube admet une réciproque.

La fonction f exprime y en fonction de x — f(x) = y.
Pour trouver sa réciproque, il suffit d’exprimer x en fonction de y.

Exemple:

Soit f(x) = 2x+ 4.
Calculer sa réciproque

      y = 2x + 4
  y - 4 = 2x
y/2 - 2 = x

f⁻¹(x) = 0.5x - 2

On peut vérifier:
f(2) = 2×2 + 4 = 8
f(3) = 2×3 + 4 = 10

f⁻¹(8) = 0.5×8 - 2 = 2
f⁻¹(10) = 0.5×10 - 2 = 3

Calculer la réciproque de f(x) = 4∛x.

    y = 4∛x
   y/4 = ∛x
(y/4)³ = x
 y³/64 = x

f⁻¹(x) = x³/64

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