Fonction pôlynomiale
Concepts: racine d’un polynôme, tableau des signes, parité d’une fonction
Racines d’un polynôme
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On appelle racine d’un polynôme la (ou les) solution(s) d’une équation polynômiale — c’est à dire les valeurs de x qui résolvent f(x) = 0.
Une racine réelle correspond à une intersection de la fonction avec l’axe des abscisses.
Une racine complexe correspond à un virage.Exemple:
On résout l'équation: x³ + 3x² + x + 3 = 0 x² (x + 3) + (x + 3) = 0 (x² + 1)(x + 3) = 0 Solution 1: x² + 1 = 0 x² = -1 Solution 2: x + 3 = 0 x = -3 L'équation a une racine réelle: x=-3 (intersection en -3) Et deux racines complexes: ±i (deux virages) C'est donc le graphique A
Tableau des signes
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Pour tracer la courbe représentative d’une fonction, il ne suffit pas de connaître les points d’intersection avec les abscisses. Il est précieux de savoir si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe des x sur tel ou tel intervalle. Pour ce faire, on étude son signe entre deux de ses racines consécutives.
Exemple:
Soit f(x) = (x + 3)(x - 1)².
La fonction f s’annule en -3 et 1.
Ces deux nombres déterminent 3 intervalles: (-∞ < x < -3), (-3 < x < 1), (1 < x < ∞)
On sait que f est toujours de même signe sur cet intervalle, donc il suffit de trouver quel est le signe de f pour une valeur particulière de x appartenant à cet intervalle.
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(-∞ < x < -3): on prend -4 et on cherche le signe de f(-4)
f(-4) = (-4 + 3)(-4 -1)² = (-)(-)² = (-)(+) = -f(-4) est négatif donc f est négative sur l’intervalle ]-∞, 3[.
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(-3 < x < 1):
f(0) = (0 + 3)(0 -1)² = (+)(-)² = (+)(+) = +f(0) est positif donc f est positive sur l’intervalle ]-3, 1[.
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(1 < x < ∞):
f(2) = (2 + 3)(2 - 1)² = (+)(+)² = (+)(+) = +f(2) est positif donc f est positive sur l’intervalle ]1, ∞[.
On obtient:
Voici la courbe approximative de la fonction f:
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Plus d'exemples
Parité d’une fonction
Fonction paire
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Une fonction est dite paire quand elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, c’est à dire que f(x) = f(-x). Si tous les exposants du polynôme sont pairs, la fonction est paire.
Fonction impaire
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Une fonction est dite impaire quand elle est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, c’est à dire que f(x) = -f(-x). Si tous les exposants du polynôme sont impairs, la fonction est impaire.
Fonction ni paire ni impaire
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Il existe des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires: si les exposants n’ont pas tous la même parité.
