Nombres complexes

Concepts: nombre imaginaire, imaginaire pur, nombre complexe, conjugué

Nombres imaginaires

Une racine carrée ne peut pas exister sur un nombre négatif — puisqu’un nombre négatif multiplié par lui-même résulte en un nombre positif, de même qu’un nombre positif multiplié par lui-même. Pourtant, pour résoudre certains problèmes algèbrique, des concepts plus complexes sont nécessaires: le nombre i. i est définit comme suit:
```
i² = -1 (donc i = √-1)
```
Le nombre i est dit imaginaire puisqu’il ne peut pas réellement exister: il est définit par une propriété qu’aucun nombre réel ne possède.

Propriétés

i suit un schéma régulier:

i¹ = i
i² = -1
i³ = -i  (puisque i²⋅i  = -1⋅i)
i⁴ = 1   (puisque i²⋅i² = (-1)⋅(-1))

Ce schéma se répète indéfiniment:

Pour trouver la valeur de i^x, on peut se servir des règles de calcul des exposants et du fait que i⁴=1 (ou toute autre puissance de i multiple de 4 est égal à 1):
```
i²⁰ = i^4⋅5
    = 1⁵
    = 1
```
```
i¹³⁸ = i¹³⁶⋅i²
    = i^4⋅34⋅i²
    = 1³⁴⋅(-1)
    = 1⋅(-1)
    = -1
```

Imaginaires purs

Si on multiplie le nombre i par un nombre réel différent de 0, on obtient ce qu’on appelle un imaginaire pur. Les imaginaires purs sont des nombres dont le carré est négatif.

Exemple:

Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre composé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.
Ex: 4 + 2i
Dans le cas de l’addition et soustraction, on peut traiter i comme une simple inconnue.
```
  (1 + 2i) + (10 + 10i)
= 11 + 12i
```
```
  (11 + 12j) - (1 + 2i)
= 10 + 10i
```

Dans le cas de la multiplication, il faut calculer la valeur de i^x quand une puissance est portée sur i.

 (1 + 2i) * 2
= 2 + 4i

  (1 + 2i) * 2i
= 2i + 4i²
= 2i - 4

  (1 + 2i) * (2 + 3i)
= 2 + 3i + 4i + 6i²
= 2 + 7i - 6
= 7i - 4

Par définition, si on multiplie un nombre complexe par son conjugué,
alors on obtient un nombre réel (donc on se débarrasse des nombres imaginaires):
ainsi a + bi est le conjugué de a - bi et inversemment.

Pour effectuer une divison par un nombre complexe,
1/ on considère la division par une multiplication par l’inverse
2/ sur cet inverse, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur:

Par exemple:

  1/(1 + 2i)
= (1 - 2i)/[(1 - 2i)(1 + 2i)]
= (1 - 2i)/[1² - (2i)²]
= (1 - 2i)/(1 + 4)
= (1 - 2i)/5
= 0.2 - 0.4i

  (-4 + 7i)/(1 + 2i)
= (-4 + 7i)(1 - 2i)/(1 + 2i)(1 - 2i)
= (-4 + 8i + 7i - 14i²)/ 5
= (-4 + 15i + 14)/5
= (10 + 15i)/5
= 2 + 3i

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