Fractions, rapports & pourcentages

Concepts: fraction, numérateur, dénominateur, fraction impropre, nombre fractionnaire, inverse, rapport, taux, proportionnalité, facteur de changement, coefficient de proportionnalité

Fraction

Une fraction est un moyen d’écrire un nombre réel sous la forme d’un quotient de deux entiers — autrement dit, c’est une division non effectuée. Elle est représentée comme suit:
Le nombre du haut (n) est appelé le numérateur.
Et le nombre du bas (d) est appelé le dénominateur.

Fraction impropre

Typiquement, on se sert des fractions pour représenter un nombre inférieur à 1 — le numérateur est inférieur au dénominateur. Si le nombre représenté par la fraction est supérieur ou égal à 1 (le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur), la fraction est dite impropre. Par exemple:

Nombre fractionnaire

Un nombre fractionnaire est un nombre constitué d’une part entière et d’une fraction inférieure à 1. Ex:

Notons qu’il ne s’agit pas d’une multiplication entre le numérateur et la partie entière. Parce que cette notation peut porter à confusion, elle n’est généralement pas utilisée — on écrit l’addition.

Fractions égales

La valeur d’une fraction ne change pas si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre (différent de 0).
Ex: 1/2 = 4/8
Parce qu’ultimement une fraction est une division, la règle des signes s’applique, et on a donc aussi les égalités suivantes:

Simplifier une fraction

Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers
puis supprimer les facteurs présents des deux côtés:
```
  24/60
= (2×2×2×3)/(2×2×3×5)
= 2/5
```

Inverse

Deux nombres sont dits inverses si le numérateur de l’un est égal au dénominateur de l’autre, et inverser une fraction (calculer l’inverse), c’est donc permuter le numérateur et le dénominateur.
Ex: 2/3 est l’inverse de 3/2

Notons qu’on peut considérer tout entier comme une fraction sur 1.
Ex: 3 (= 3/1) est l’inverse de 1/3.

Le produit de deux nombres inverses est égal à un.
Ex: 5 × 1/5 = 1
Diviser un nombre revient à multiplier par l’inverse.

Opérations avec des fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.

Pour trouver un dénominateur commun à deux fractions, on écrit les multiples de chaque dénominateur pour trouver un multiple qui est dans les deux listes — ou on peut multiplier le dénominateur de chaque fraction par le dénominateur de l’autre fraction. Ex:
```
Additionner 7/8 et 3/10

Multiples de  8:  8, 16, 24, 32, 40
Multiples de 10: 10, 20, 30, 40

  7×5/8×5 + 3×4/10×4
= 35/40 + 12/40
= 47/40
```
Pour multiplier des fractions, on multiplie le numérateur et le dénominateur respectivement.
Pour diviser des fractions, on multiplie par l’inverse.

De fraction à nombre décimal

Si le dénominateur est une puissance de 10, alors on peut simplement lire le résultat: 1 suivit de x 0 = x chiffres après la virgule. Ex: 99/1000 = 0.099 (3 chiffres après la virgule)
Certaines fractions sont si courantes qu’il convient de mémoriser leur forme décimale:

Autres fractions & nombres décimaux courants
Toutes les fractions égales ont la même valeur.
Ex: si le dénominateur est le double du numérateur, c’est une fraction égale à 1/2 = 0.5.
En dernier recours, on calcule le quotient de la division.
Il est possible qu’un nombre fractionnaire ait un développement décimal périodique illimité, c’est à dire un nombre infini de chiffres après la virgule, qui se répètant toujours sur le même motif. Dans ce cas, on note les chiffres qui se répètent à l’infini avec une barre au-dessus.
Ex: 1/3 = 0.3̅3

Rapport

Une fraction représente une valeur (c’est une division non effectuée).
Un rapport (ou ratio) représente, lui, une comparaison entre deux valeurs — qui n’ont pas forcemment la même unité.

Ex: Chaque fois que Tom boit 1 verre de lait, il mange 2 cookies: Tom consomme 1 verre de lait pour 2 cookies. On peut également dire que le rapport du nombre de verres de lait au nombre de cookies est de 1 pour 2 — qu’on peut aussi écrire 1/2 ou 1:2.

Taux

Un taux est un rapport dans lequel une des quantités à égale à 1.
Un taux permet de mesurer précisemment comment varie une valeur par rapport à une autre (vitesse, prix unitaire, débit, rythme, etc).
Ex: 16km/h

Passer à l’unité, c’est calculer le taux à partir d’un rapport.

Bob a mis 5 heures pour parcourir 625km, à quelle vitesse roulait-il?
625km/5h = 125km/h

• Alice a mis 45min pour aller au magasin en roulant à 12km/h, 
  à quelle distance se situe le magasin?  

    (45/60)h × 12km/h
  = 0.75h × 12km/h
  = 9km

• Au retour, elle roule à 36km/h, 
  combien de temps lui a-t-il fallu pour parcourir le chemin? 

    9km / 36km/h
  = 0.25h (×60 = 15min)

• Quelle est sa vitesse moyenne pour l'aller-retour?  

    9km×2 / (0.75+0.25)h
  = 18km/h

Proportionalité

Deux rapports sont dits proportionnels (ou équivalents) lorsqu’il existe une relation d’équalité entre les deux. Ex: 300 habitants / 5km² est proportionnel à 600 habitants / 10km² (= 60 habitants/km²).

Le nombre à multiplier un rapport proportionnel pour obtenir l’autre est appelé le facteur de changement.
Le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur pour obtenir le dénominateur est le coefficient de proportionnalité.
Si on sait que deux rapports sont proportionnels et qu’il manque une variable, on peut facilement trouver la 4ème proportionnelle en utilisant le produit en croix: on multiplie en diagonale et on divise en verticale — le sens de la verticale suit le trait de la diagonale, sans lever le crayon.
```
Sachant que 38/57 et x/228 sont proportionnels, quelle est la valeur de x?
x = 228*38/57 = 152

Sachant que 38/57 et 152/x sont proportionnels, quelle est la valeur de x?
x = 152*57/38 = 228
```

Pourcentage

Un pourcentage est un rapport dont le dénominateur est 100.
Le symbole % se lit “pour cent” et remplace /100.

Une augmentation de x% (+x/100) revient à une multiplication par 1+(x/100) — Q + x/100*Q = Q*(1 + x/100)

Le prix des goyaves qui étaient à 15€ a augmenté de 30%.
Quel est leur nouveau prix?

En calculant l'augmentation:
15+(15*0.3) = 15+4.5 = 19.5

En utilisant le coefficient multiplicateur:
15*(1+0.3) = 15*1.3 = 19.5

Une réduction de x% (-x/100) revient à une multiplication par 1-(x/100)

Carole a un bon de -30% sur un produit à 18€.  
Combien va-t-elle devoir payer?

En calculant la réduction:
18-(18*0.3) = 18-5.4 = 12.6

En utilisant le coefficient multiplicateur:
18*(1-0.3) = 18*0.7 = 12.6

Pourcentage d’évolution

Lorsqu’une quantité passe d’une valeur A a une valeur B, le pourcentage d’évolution est égal à

  (B-A)/A * 100
= (B/A - A/A) * 100
= (B/A - 1) * 100

Un article passe de 85€ à 102€. Calculer l'évolution en pourcentage

B/A = 102/85 = 1.2
B/A - 1 = 0.2

Taux d'évolution: +20%

Un article passe de 137€ à 95€. Calculer l'évolution en pourcentage

A/B = 95/137 = 0.6934
1 - A/B = 0.3066

Taux d'évolution: -30.66%

Évolutions successives en pourcentage

Notons que le prix initial moins x% est différent du prix final plus x% — puisque le pourcentage ne s’applique pas sur le même nombre.

Carole a depensé 12.6€ grâce un bon de réduction de -30%.
Quel était le prix initial?

Réduction de 30% sur le prix initial:
0.7x = 12.6
x    = 12.6/0.7 = 18

≠ Augmentation de 30% sur le prix final:
12.6*1.3 = 16.38

Si une quantité subit successivement deux hausses, l’une de t% et l’autre de t’%, alors elle est multipliée par (1 + t/100) * (1+t’/100)

Calculer l'évolution en pourcentage

- d'une hausse de 8% suivit d'une hausse de 10%

  1.08 × 1.10 = 1.188  
  Donc +18.8%

- d'une baisse de 12% suivie d'une baisse de 15%

  0.88 × 0.85 = 0.748
  1 - 0.748 = 0.252
  Donc -25.2%

- d'une hausse de 30% suivit d'une baisse de 30%

  1.30 × 0.7 = 0.91
  Donc -9%

- de 12 hausses successives de 1%

  1.01**12 = 1.1268
  Donc +12.68%

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