Systèmes numériques
Concepts: nombre, chiffre, système numérique, base, rang
Nombre
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Un nombre est une valeur représentant une une quantité. Il peut être écrit avec des lettres (vingt et un) ou avec des chiffres (21).
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Il est communément admis que les mathématiques sont nés du besoin de compter et de garder une trace de nombres — pour énumérer le bétail, marquer le passage de jours, échanges des objets, etc.
Les comptes étaient maintenus en faisant des encoches sur des pierres, du bois ou des os. Quand le nombre de marques est devenu trop difficile à visualiser, les peuples primitifs se sont mis à les arranger en groupes facilement reconnaissables. L’organisation en groupe, comme des groupes de 5 pour les 5 doigts de la main, a constitué la première amélioration par rapport au comptage 1 par 1 vers un concept abstrait de valeur “cinq”.
L’évolution du comptage, avec des mots numériques parlés et ses symboles numériques écrits distincts, a été progressive et on ne dispose pas de date précises pour ses différentes étapes.
Systèmes numériques
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Un chiffre est un signe d’écriture (0,1,2,…,9) utilisé seul ou en combinaison pour représenter des nombres (ex 12).
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Un système numérique est un ensemble de règle d’utilisation de chiffres pour écrire des nombres.
Exemple du système numérique Maya:
Le système maya a 3 chiffres: un trou (○) pour 0, un point (•) pour 1 et une barre horizontale (—) pour 5.
Pour écrire un nombre supérieur à 19, on déplace le symbole vers la droite: ○ • pour 20, ○ •• pour 40, et l’expression ci-dessous vaut 62 808:
8⋅200 + 0⋅201 + 17⋅202 + 7⋅203 = 8⋅1 + 0⋅20 + 17⋅400 + 7⋅8000 = 62 808
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Le système numérique qu’on utilise, le système arabe, est apparu en Inde au IIIème siècle avant JC puis est transmis aux Arabes aux VIIIème siècle avant de parvenir en Europe au Xème siècle. Au XIIIème siècle, il est utilisé par les cercles mathématiques européens, et entre dans l’usage courant en europe au XVème siècle. À la fin du XXème siècle, les chiffres arabes ont remplacé les système de chiffres indigènes dans la plupart des cultures.
Toutefois, il existe d’autres systèmes de numération encore utilisés aujourd’hui, comme celui des chiffres romains par exemple.
Base numérique
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La base numérique (radix en anglais) correspond à la quantité de nombres qu’il est possible d’écrire avec un seul symbole. Le système maya a une base 20: on peut écrire les nombres de 0 à 19 avec un symbole. Pour écrire un nombre plus grand, on utilise la position du symbole. Lorsqu’il se déplace d’un cran, la valeur du symbole est multipliée par la base.
Exemple du système numérique arabe:
Le système arabe est en base 10 (on dit qu’il est décimal, du latin decem “dix”): on utilise les chiffres arabes de 0 à 9 pour écrire des nombres et on décale vers la gauche pour écrire des nombres plus grand.4327 = 4⋅1000 + 3⋅100 + 2⋅10 + 7 = 4⋅103 + 3⋅102 + 2⋅101 + 7⋅100
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Plutôt que 20, on trouve souvent 10 comme base du système numérique anciens — sûrement attribuable aux 10 doigts de la main et à notre habitude de compter dessus.
Rang d’un chiffre
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Le rang ou ordre d’un chiffre est sa position au sein du nombre. À chaque rang est associé un nom qui est composé de deux parties: le nom secondaire (unité, dizaine ou centaine) suivit du nom principal (millier, million, etc). On ne prononce pas “unité”.
Exemple: Dans l’exemple suivant, on a 8 dizaines de milliards, 2 millions, 5 centaines de milliers, 9 centaines
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Pour lire un grand nombre, on commence par le réécrire en faisant des paquets de 3 à partir de la droite puis on lit paquet par paquet de gauche à droite suivit du nom principal (81 milliards 702 millions 573 mille 946).
Valeur (puissance de 10) Symbole Français UK USA 103 k (kilo) mille thousand thousand 106 M (méga) million million million 109 G (giga) milliard milliard billion 1012 T (tera) billion billion trillion 1015 P (peta) billiard thousand billion quadrillion 1018 E (exa) trillion trillion quintillion 1021 Z (zetta) trilliard thousand trillion sextillion 1024 Y (yotta) quatrillion ou quadrillion quatrillion septillion Le tableau continue de 1027 jusqu’à 10603: quadrilliard, quintillion, quintilliard, sextillion, sextilliard, septillion, septilliard, octillion, octilliard, nonillion, nonilliard, décillion, décilliard, unodécillion, unodécilliard, duodécillion, duodécilliard, trédécillion, trédécilliard, … centilliard.
Names of large numbers
Les positions et les valeurs des nombres