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Sommaire: Opérations I

• Addition
  • Propriétés
  • Additionner des grands nombres
• Soustraction
  • Propriétés
  • Soustraire des grands nombres
  • Nombres négatifs
• Multiplication
  • Propriétés
  • Règles des signes
  • Multiplier des grands nombres
  • Multiples d’un nombre
  • Parité
• Division
  • Propriétés
  • Règles des signes
  • Division euclidienne
  • Nombres réels
  • Diviser des nombres
  • Arrondis
• Ordre des opérations

Opérations I

Concepts: addition, somme, soustraction, nombres négatifs, opposé, différence, multiplication, produit, multiple, pair/impair, division, dividende, diviseur, quotient, reste, divisibilité, nombres réels, arrondis

Addition

Les nombres sont des raccourcis pour désigner une quantité: au lieu de dire “1, 1, 1, 1, 1” on peut simplement dire “5”. L’addition consiste à combiner deux nombres: (1, 1) + (1, 1, 1) = (1, 1, 1, 1, 1), ou en termes mathématiques: 2 + 3 = 5. Le résultat d’une addition s’appelle une somme.

Propriétés

• L’addition est commutative: on peut changer l’ordre des termes.
  Exemple: 4 + 2 = 2 + 4

• L’addition est associative: on peut regrouper ensemble les termes de différentes façons pour calculer des additions intermédiaires.
  Exemple: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

• L’addition a un élément neutre: ajouter 0 à un nombre ne change pas le montant total.
  Exemple: 0 + 4 = 4

Additionner des grands nombres

Pour additioner des nombres sur plusieurs chiffres, 1. écrire chaque nombre sur une ligne en alignant les chiffres de même rang les uns sous les autres. 2. additioner les chiffres de même rang en commençant par la droite. Si la somme est supérieure à 9, ajouter une retenue dans le rang supérieur.

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Soustraction

La soustraction est l’inverse de l’addition — au lieu d’ajouter des éléments, on en enlève: (1, 1, 1, 1, 1) - (1, 1, 1) = (1, 1), ou en termes mathématiques: 5 - 3 = 2. Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence.

Propriétés

• La soustraction n’est pas commutative: on ne peut pas modifier l’ordre des termes soustraits.
  Exemple: 4 - 2 != 2 - 4

• La soustraction n’est pas associative: on ne peut pas modifier l’ordre des différences intérmédiaires.
  Exemple: 4 - (3 - 1) != (4 - 3) - 1

• La soustraction a un élément neutre: soustraire 0 à un nombre ne change pas le montant total.
  Exemple: 4 - 0 = 4

Soustraire des grands nombres

Pour soustraire des nombres sur plusieurs chiffres,

1. poser la soustraction en mettant le plus grand nombre en premier,
2. soustraire les chiffres de même rang en commençant par la droite. Si le chiffre du bas est plus grand que celui du haut, descendre une retenue du rang supérieur.
3. si on a intervertit les deux nombres pour faire la soustraction, inverser le signe du résultat.
   Exemple: pour calculer 25-83, on calcule 83-25 (=58) et on ajoute le signe moins: = -58

Nombres négatifs

• Un nombre négatif est un nombre inférieur à 0. La soustraction peut générer des nombres négatifs — si on enlève plus d’éléments qu’il n’y en a à la base, alors on finit avec un nombre négatif. On peut penser aux chiffres négatifs comme

  • le fait d’être en-dessous du seuil zéro
    Ex: si la température est de 8° en-dessous de 0, on dit qu’il fait -8°

  • ou comme une dette
    Ex: j’ai 0 cookies et j’en doit 4 à Bob, j’ai -4 cookies

• Deux nombres sont dits opposés s’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires.

  

  La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.
  Ex: -4 + 4 = 0

• Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
  Autrement dit, additionner un nombre négatif (+ -) revient à soustraire un nombre positif (-).
  Ex: 1 + (-3) = 1 - 3

  Et soustraire un nombre négatif (- -) revient additionner un nombre positif (+).
  Ex: 1 - (-3) = 1 + 3

  Par exemple:
  Vous devez 30€ à la banque, vous avez donc -30€.
  Vous ajoutez 20€ à votre compte: -30 + 20 = -10.
  Ce qui revient à dire que vous avez enlevé (soustrait) une dette de 20€: -30 - -20 = -10.

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Multiplication

• La multiplication est la répétition d’une addition: au lieu de dire “2 + 2 + 2 + 2 + 2”, on peut simplement dire “5 fois 2”, ou en termes mathématiques: 5 × 2.

  Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit.
  Les éléments constitutifs d’une multiplication sont appelés des facteurs — 5 et 2 sont les facteurs de la multiplication 5 × 2.

• On peut noter une multiplication avec le symbole × (fois) ou ⋅ (point).
  Le signe peut être omis entre une parenthèse et le reste de l’expression.
  Ex: 5(7 + 3) = 5 × (7 + 3)

Propriétés

• La multiplication est commutative: on peut changer l’ordre des nombres.
  Exemple: 4 × 3 = 3 × 4

• La multiplication est associative: on peut regrouper les nombres de différentes façons pour calculer les multiplication intermédiaires.
  Exemple: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)

• La multiplication a un élément neutre: multiplier un nombre par 1 ne change pas le montant total.
  Exemple: 1 × 4 = 4

• La division a un élément absorbant: multiplier un nombre par 0 nullifie le montant total.
  Exemple: 0 × 4 = 0

• La multiplication est distributive: le produit d’une somme (c × (a + b)) est égale à la somme des produits (c×a + c×b)
  Exemple: 2 × (5 + 3) = 2×5 + 2×3

  La distributivité de la multiplication permet de calculer un produit avec des multiplication plus simples.
  Exemple: 4×12 = 4×(10+2) = 4×10+4×2 = 40+8 = 48

Règles des signes

• Quand on multiplie un nombre négatif par un nombre positif,
  on obtient un nombre négatif (on multiplie une dette).
  Ex: 3 × -5 = (-5)+(-5)+(-5) = -15

  Quand on multiplie un nombre négatif par un nombre négatif,
  on obtient un nombre positif (on s’acquitte d’une dette).
  Ex: -3 × -5 = -(-5)-(-5)-(-5) = 5+5+5 = 15

  

Multiplier des grands nombres

Pour multiplier des nombres sur plusieurs chiffres

1. écrire chaque nombre sur une ligne en alignant les chiffres de même rang les uns sous les autres

2. multiplier rang par rang les chiffres des deux nombres, de droite à gauche, en commençant par les unités du deuxième nombre fois les unités, dizaines et centaines du premier nombre. Ensuite, les dizaines du deuxième nombre fois les unités, dizaines et centaines du premier nombre. Et ainsi de suite.

   Par exemple pour calculer 36 × 27, on calcule (7×6 + 10×7×3) + 10(2×6 + 10×2×3) = 252 + 720 = 972

   

   Vidéo: Multiplications de nombres à 2 chiffres

3. si c’est un nombre décimal, on multiplie comme s’il n’y avait pas de virgule, puis on replace la virgule en comptant le nombre de chiffres après la virgule.

   Par exemple pour 2,91 × 3,2, on calcule 291 × 32 (= 9 312), puis on place la virgule: le résultat aura 3 chiffres après la virgule puisque 2,91 et 3,2 ont au cumul 3 chiffres après la virgule: on obtient 9,312.

   

Multiples d’un nombre

• On dit que le produit P d’un entier a avec un autre entier b est un multiple de a (et de b aussi).
  On ne peut pas faire la liste de tous les multiples d’un nombre car elle est infinie.

  Les premiers multiples de 3 sont 3, 6, 9 et 12.

  

Parité

• Un nombre pair est un nombre multiple de 2.
  Un nombre pair se termine nécessairement par 0, 2, 4, 6 ou 8.
  Ex: 136 est pair

• Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair.
  Un nombre impair se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9.
  Ex: 139 est impair

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Division

La division est l’inverse de la multiplication: au lieu de combiner des additions (2+2+2+2+2 = 5×2 = 10), on sépare une valeur en part égales: on a 10 éléments, et on veut créer 5 groupes contenant le même nombre d’éléments, combien d’éléments doit-on mettre dans chaque groupe? (= 2). Ou en termes mathématiques: 10/5 = 2.

Le résultat d’une division s’appelle un quotient (2 est le quotient de 10/5).
Le nombre divisé est le dividende (10), le nombre qui divise est le diviseur (5).

Propriétés

• La division n’est pas commutative: on ne peut pas modifier l’ordre des termes divisés.
  Exemple: 10/5 != 5/10

• La division n’est pas associative: on ne peut pas changer la priorité des divisions intermédiaires.
  Exemple: 12/(4/2) != (12/4)/2

• La division a un élément neutre: diviser un nombre par 1 ne change pas le montant total.
  Exemple: 4/1 = 4

• La division est distributive: la division d’une somme ((a + b) / c) est égale à la somme des quotients (a/c + b/c).
  Exemple: 125/5 = (100+25)/5 = 100/5+25/5 = 20+5 = 25

  On ne peut pas décomposer le diviseur, il faut décomposer le dividende.

Règles des signes

• La reste des signes pour la division est la même que pour la multiplication.

  

Division euclidienne

• Une division est dite euclidienne (ou entière), quand on divise un entier naturel non nul (c’est à dire un nombre entier supérieur à 0) par un autre, et qu’on veut un résultat entier — on ne veut pas couper des éléments en morceaux.

• Une division euclidienne peut être exacte:
  si on veut créer des groupes de 2 à partir de 10 éléments, on peut créer 5 groupes. 10/2 = 5

  Ou avoir un reste:
  si on veut créer des groupes de 7 à partir de 10 éléments, on peut créer 1 groupe et il reste 3 éléments sans groupe. 10/7 = 1 reste 3

• On dit qu’un entier a est divisible par b si le quotient de a/b est un entier (pas de reste).
  Ex: 16 est divisible par 1, 16, 2, 8 et 4.

  On peut également dire que b est un diviseur de a.
  Ex: Les diviseurs de 16 sont 1, 16, 2, 8 et 4.

  

• On peut facilement vérifier si un nombre est divisible par un autre ou non: un nombre est

  divisible par...	si...
  2	Il finit par un nombre pair (0,2,4,6,8)
  3	La somme des chiffres est divisible par 3
  4	Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4 (forcemment pair)
  5	Le dernier chiffre est soit 0 soit 5
  6	Il est divisible par 2 et 3
  9	La somme des chiffres est divisible par 9
  10	Le dernier chiffre est 0

Nombres réels

• Un nombre réel est un nombre ayant une partie entière et une partie décimale (finie ou infinie). La division peut générer des nombres réels — si on coupe 1 élément en deux, on obtient deux moitiés: 1/2 = 0.5.

  On peut écrire un nombre réel de différentes manières:

  • notation décimale: 0.5
  • notation fractionnaire: 1/2
  • notation en pourcentage: 50%
  • notation scientifique: 5 × 10-1

• Les noms des rangs après la virgule suivent la même logique que les rangs du côté entier mais finissent par “-ième”:

  • 0.1 = 1/10 = 1 dixième
  • 0.01 = 1/100 = 1 centième
  • 0.001 = 1/1000 = 1 millième
  • 0.0001 = 1/10 000 = 1 dix-millième

Diviser des nombres

Pour diviser des nombres sur plusieurs chiffres,

1. Placer les deux nombres dans un tableau de division: le dividende à gauche, le diviseur à droite.
   Les calculs seront écrits sous le dividende et le quotient sous le diviseur.

   

   Si la divisionc contient des nombres décimaux, on multiplie le dividende et le diviseur par le même nombre pour obtenir des nombres entiers. Ex: 0.72/0.08 = 72/8 = 9

2. Prendre le chiffre de plus haut rang du dividende. Si ce chiffre est inférieur au diviseur, prendre le second chiffre, ou troisième, etc, jusqu’à ce que le diviseur soit inférieur ou égal au nombre considéré.
   Exemple: Si on divise 70 par 4, on prend 7.

3. Dans X (le nombre considéré) combien de fois peut-on avoir le diviseur?
   Marquer la réponse sous le diviseur — à droite.
   Exemple: Dans 7, on aura au maximum 1 fois 4.

   Marquer le résultat de l’opération sous le dividende — à gauche, en l’alignant à droite avec X.
   Exemple: 4×1 = 4

   Soustraire X avec ce résultat et écrire ce qu’il reste en-dessous — à gauche.
   Exemple: 7-4 = 3

4. Descendre le prochain chiffre de plus haut rang du dividende à droite du reste.
   Si le nombre considéré est inférieur au diviseur, descendre un second chiffre, ou troisième, etc.
   Exemple: On descend le 0 du 70.

5. Répéter les étapes 3 et 4 jusqu’à avoir fini la division.
   Exemple: Dans 30, on aura au maximum 7 fois 4 (4×7 = 28).

   On peut soit finir la division quand on a considéré tous les chiffres du dividende (division euclidienne) — on garde donc peut-être un reste. Soit, si on pousse la division après la virgule, finir quand le reste est zéro ou qu’on a atteint la précision qu’on veut.

Arrondis

• Un arrondi est la valeur approximative d’un nombre. Par exemple, il n’est pas forcemment intéressant de connaître le nombre exact de personnes dans une salle (135 216), pour simplifier l’information, on limite les chiffres à un rang donné — par exemple, arrondir au millier (135 000). On appelle le rang choisit la précision de l’arrondi.

• On peut arrondir au-dessus (par excès) ou au-dessous (par défaut). Généralement, on arrondit au nombre le plus proche: on arrondit au-dessus si le chiffre inférieur à la précision est supérieur ou égal à 5, et au-dessous s’il est inférieur à 4.
  Ex:
  Arrondir 1.365 au nombre entier le plus proche: 1
  Arrondir 1.565 au nombre entier le plus proche: 2

• Tronquer un nombre consiste ne pas considérer la valeur du chiffre inférieur à la précision, ce qui revient à toujours arrondir en-dessous.
  Ex: Tronquer 1.565 au dixième: 1.5

• Un arrondi n’étant pas à la vraie valeur du résultat, on n’emploit pas le signe = (égal) mais ≈ (environ égal).
  Ex: 1/3 ≈ 0.33

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Ordre des opérations

• Lorsqu’une expression mathématique contient plusieurs opérateurs, des priorités s’appliquent — dans cet ordre:

  1. Parenthèses
  2. Puissances
  3. Multiplications / divisions
  4. Additions / soustractions

  Exemples:

    (7 + 3) × 5
  = 10 × 5
  = 50
  
    7 + 3 × 5
  = 7 + 15
  = 22
  

    (7 + 3) × 4 / 2 - 5 × 6
  = 10 × 2 - 30
  = 20 - 30
  = -10
  

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