Opérations II

Concepts: exponentiation, puissance, exposant, base, racine, logarithme, factorielle, valeur absolue

Puissance

Une exponentiation est la répétition d’une multiplication: 2×2×2 = 2³ = 8.
aⁿ se lit “a puissance n”.
Sur une calculatrice, on l’écrit a^(n).

Le résultat d’une exponentiation est une puissance.
On dit que n est l’exposant, a est la base et on calcule une puissance de a.
Tout nombre puissance 0 vaut 1: 2⁰ = 1
Tout nombre puissance 1 se vaut lui-même: 2¹ = 2
Un exposant 2 se dit mettre au carré
Ex: 3² peut se lire “3 puissance 2”, “3 exposant 2” ou “3 au carré”.

Un exposant 3 se dit mettre au cube
Ex: 2³ peut se lire “2 puissance 3”, “2 exposant 2” ou “2 au cube”.

x^-n est l’inverse de xⁿ

Exemples:
Quand on applique un exposant sur un nombre négatif, la règle des signes s’applique et le produit est donc positif si l’exposant est pair, et négatif sinon.

10 puissance n, c’est 1 suivit de n zéro.
Ex: 10⁵ = 10×10×10×10×10 = 100 000

10 puissance -n, c’est n chiffres après la virgule.
Ex: 10^-5 = 1/10/10/10/10/10 = 1/10 000 = 0.000 01
Pour simplifier la lecture de grands nombres ou de petits nombres, on utilise souvent l’écriture scientifique, qui consiste à écrire un nombre sous forme d’entier entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.
```
604000 = 6.04 × 10⁵  
0.0058 = 5.8 × 10^-3
```
Pour écrire un nombre sous forme scientifique, on déplace la virgule jusqu’à obtenir un nombre décimal avec une partie entière de un chiffre (≠ 0) et on indique le nombre de fois qu’on a déplacé la virgule en exposant de la puissance de 10.

Exemple:

Une racine (radical en anglais) est l’inverse d’une puissance: on cherche à déterminer quel nombre a été répété n fois.

On peut l’écrire soit sous forme d’exposant fractionnaire, soit avec le symbole √ (racine).
Ex: ⁵√32 = 32^1/5 = 2
La racine carrée (racine 2-ième, inverse de la puissance de 2) est le type de racine le plus utilisé: on cherche à déterminer quel nombre a été multiplié par lui-même. Quand le n de la racine n’est pas précisé, il s’agit implicitement d’un 2 — √x = ²√x = x^1/2.
Une racine paire ne peut pas exister sur un nombre négatif — puisque qu’un nombre positif fois lui-même résulte en un produit positif, et qu’un nombre négatif négatif fois lui-même résulte également en un produit positif. Une racine impaire peut par contre exister sur un nombre négatif.

Pour trouver la racine d’un nombre, on le décompose en facteurs premiers.
Il est possible qu’une racine n’aie pas un résultat entier.
Dans ce cas, on se contente de simplifier l’expression au maximum.
Si la racine porte sur une fraction, on traite le numérateur et le dénominateur séparemment.
Et si le résultat contient une racine au dénominateur, on la ramène généralement au numérateur.

Le logarithme est l’autre pièce du puzzle: tandis que la racine cherche la base sachant l’exposant et le total, le logarithme cherche l’exposant sachant la base et le total.
```
 2³ = 8
 8^1/3 = 2
 log₂8 = 3
 
```
Se lit “log base 2 de 8 est égal à 3”.
Le logarithme base 10 est le type de logarithme le plus utilisé:
quand la base du logarithme n’est pas précisé, il s’agit implicitement d’un 10.
Ex: log1000 = log₁₀1000 = 3 (parce que 10³ = 1000)
Sur une calculatrice, seul le logarithme 10 est disponible.
Pour trouver la valeur d’un logarithme d’une base différente, on se sert de l’égalité suivante:

Ex: log₂10 = log 10 / log 2

Une factorielle est le produit de tous les entiers inférieurs à un nombre n: 5! = 5×4×3×2×1 = 120
Par convention 0! = 1
La notation factorielle est surtout utilisée en probabilités,
pour calculer le nombre de permutations possibles dans un ensemble.
```
Combien de "mots" peut-on écrire avec des lettres du mot LONG?

4! = 4*3*2*1 = 24
```

La valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0.
Autrement dit, on enlève le signe du nombre.
La valeur absolue d’un nombre x est notée |x|.
Ex: |-2 × 45| = |-90| = 90

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