Nombres premiers

Concepts: premier, composé, PPCM, PGCD

Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre qui a exactement 2 diviseurs: 1 et lui-même.
Ex: 7 est premier, il n’est divisible que par 1 et 7.

Un nombre composé est un nombre qui a plus de 2 diviseurs.
Ex: 16 est composé, il est divisible par 1, 2, 4, 8 et 16.

1 est ni premier ni composé (il n’est divisible que par 1).

Crible d’Ératosthène

Le crible d’Ératosthène est une technique permettant de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné, qu’on notera n.
1. Énumérer tous les nombres entre 2 et n
2. Rayer les multiples de i, où i est la valeur en cours d’une boucle de 2 à n (multiples de 2, multiples de 3, etc).
  Ignorer les i déjà précédemment rayés, et s’arrêter lorsque i² > n

Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Le PPCM de 2 nombres (ou plus) est le plus petit multiple commun à tous ces nombres.
Pour le trouver on peut

Lister les multiples des nombres, et garder le premier qui est commun à tous

 Trouver le PPCM de 15, 6 et 10

 Multiples de 15: 15, 30,
 Multiples de  6:  6, 12, 18, 24, 30
 Multiples de 10: 10, 20, 30

 PPCM(15, 6, 10) = 30

Décomposer les différents nombres en facteurs de nombres premier, puis multiplier les facteurs communs (une fois) par les facteurs non communs (autant que fois qu’ils apparaissent)

 Trouver le PPCM de 15, 6 et 10

 15 = 3 × 5
  6 = 3 × 2
 10 = 2 × 5

 Facteurs non communs: 3, 5, 2
 PPCM(15, 6, 10) = 3×2×5 = 30

 Trouver le PPCM de 12 et 20

 12 = 2 × 2 × 3
 20 = 2 × 2 × 5

 Facteurs communs: 2, 2
 Facteurs non communs: 3, 5
 PPCM(12, 20) = 2×2×3×5 = 60

Plus d'exemples

 Trouver le PPCM de 9 et 24

  9 = 3 × 3
 24 = 2 × 3 × 4

 Facteurs communs: 3
 Facteurs non communs: 3, 2, 4
 PPCM(9, 24) = 3×3×2×4 = 72

 Trouver le PPCM de 18 et 12

 18 = 3 × 2 × 3
 12 = 2 × 2 × 3

 Facteurs communs: 2, 3
 Facteurs non communs: 3, 2
 PPCM(18, 12) = 2×3×3×2 = 36

Exemple:

Ronald et Tim ont fait leur lessive aujourd'hui.  
Or Ronald fait sa lessive tous les 6 jours et Tim tous les 9 jours.  
Combien de jours se passera-t-il avant que Ronald et Tim ne refassent leur lessive le même jour?

Multiples de 6: 12, 18
Multiples de 9: 18
PPCM(6, 9) = 18

Il se passera 18 jours avant qu'ils ne refassent leur lessive le même jour.

Si on connait deux diviseurs d’un nombre, alors on peut utiliser la décomposition en facteurs premier du PPCM pour déterminer des diviseurs additionnels.

Tous les nombres divisibles par 9 et 24 sont aussi disibibles par?

 9: 3 × 3
24: 2 × 2 × 2 × 3

PPCM(9, 24) = 3×3×2×2×2
Réponse: 2, 3, 3×3 (9), 3×2 (6), 2×2 (4), 3×3×2 (18), 3×2×2 (12), 2×2×2 (8)

Plus Grand Common Diviseur (PGCD)

Le PGCD est le plus grand nombre par lequel ont peut diviser deux nombres donnés.
Pour le trouver on peut

Lister les diviseurs des nombres, garder le dernier qui est commun à tous

 Trouver le PGCD de 10 et 7

 10: 1, 2, 5, 10
  7: 1, 7

 PGCD(10, 7) = 1

 Trouver le PGCD de 21 et 30

 21: 1, 3, 7, 21
 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

 PGCD(21, 30) = 3

Décomposer les différents nombres en facteurs de nombres premiers, puis multiplier tous les facteurs communs entre eux (une fois).

 Trouver le PGCD de 21 et 30

 21: 3 × 7
 30: 2 × 3 × 5

 PGCD(21, 30) = 3

 Trouver le PGCD de 105 et 30

 105: 5 × 3 × 7
  30: 2 × 3 × 5

 PGCD(105, 30) = 3×5 = 15

Exemple:

Alice a 63 plants de tomate et 81 plants de rhubarbe.  
Elle voudrait mettre ces plants en rangées de sorte que chaque rangée
ait toujours le même nombre de plants de tomate et de plants de rhubarbe.

Quel est le plus grand nombre de rangées qu'Alice peut planter?  
Combien de plants de tomate et de rhubarbe y aura-t-il par rangée?

63 = 3 × 3 × 7
81 = 3 × 3 × 3 × 3
PGCD(63, 81) = 3×3 = 9

Elle peut planter au maximum 9 rangées.  
Chaque rangée aura 7 plants de tomate et (3×3=)9 plants de rhubarbe.

This site is open source. Improve this page.