Formes 2D

Concepts: sommet, côtés, base, adjacent, opposé, diagonale, cercle, disque, rayon, diamètre, polygône, quadrilatère, trapèze, parallélogramme, losange, rectangle, carré, cerf-volant, isocèle, équilatéral, triangle rectangle, périmètre, circonférence, aire

Côtés et sommets

Les sommets d’une figure sont les points qui constituent ses coins.
Les côtés d’une figure sont les segments qui constituent ses bords — entre deux sommets.
Une base est un côté horizontal

On donne aux figures des noms suivant leurs caractéristiques — nombre de sommets, de côtés, avoir des cotés parallèles, perpendiculaires, etc.

Côtés adjacents

Deux côtés sont dits adjacents s’ils se rencontrent en un point commun.
Exemple: dans la figure ci-dessous, [AB] et [AC] sont adjacents en A.

Côtés opposés

Deux côtés sont dits opposés si, quand on trace une droite passant le centre de la figure, elle traverse les deux côtés. Exemple: dans la figure ci-dessous, les côtés opposés sont coloriés de la même couleur

Diagonales

On appelle diagonale tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté).

Nom des figures courantes

Cercle

Un cercle est un trait fermé constitué d’un ensemble de points tous à égale distance du centre.
On parle de cercle pour désigner le contour, et de disque pour désigner l’intérieur.
Comme élément de mesure d’un cercle, on utilise
- le rayon, qui est la distance entre le centre du cercle et le contour
- ou le diamètre, qui est la plus grande distance pouvant séparer deux points dans un cercle — un segment qui passe par le centre, et qui est égal au double du rayon

Polygône

Un polygone (poly: plusieurs) est une figure fermée constituée de plusieurs côtés — au moins 3. Toutes les figures fermées sauf le cercle sont des polygônes. Lorsqu’un polygône a
- 3 côtés, on dit que c’est un triangle (tri: trois),
- 4 côtés, est un quadrilatère (quad: quatre),
- 5 côtés, est un pentagone (penta: cinq),
- 6 côtés, est un hexagone (hexa: six),
- 7 côtés, est un heptagone (hepta: sept),
- 8 côtés, est un octogone (octo: huit)
Exemples:
Un polygone est dit régulier si tous ses cotés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.
Ex: le pentagone ci-dessus est régulier

Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère particulier: il a deux côtés opposés parallèles.

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses quatre côtés opposés parallèles.

Losange

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur (tout losange est un parallélogramme).

Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère dont les angles sont droits.

Carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur (tout carré est à la fois un losange et un rectangle).

Cerf-volant

Un cerf-volant est un quadrilatère qui a deux fois deux côtés adjacents de même longueur.

Triangle

Un triangle est un polygone de 3 côtés.
On distingue différents types de triangles:

Un triangle scalène est un triangle dans lequel tous les côtés ont des longueurs différentes
Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur
Un triangle équilatéral est un triangle ayant trois côtés de même longueur

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit.
Un triangle aigu est un triangle dans lequel tous les angles sont aigus
Un triangle obtus est un triangle dans lequel un des angles est obtus

Périmètre

Le périmètre est la longueur du contour d’une figure plane.
Le contour des figures ci-dessous est en bleu.
Pour trouver le périmètre d’une figure, on additionne les longueurs de ses côtés.
On appelle circonférence le périmètre d’un cercle.
Sa valeur exacte est π (pi) fois diamètre.

π est un nombre irrationnel, il a un nombre infini de chiffres après la virgule.
Pour se faire une idée de la longueur de la circonférence, on utilise une valeur approchée de π ≈ 3.1416.

Aire

L’aire est la quantité de surface d’une figure plane — combien de carrés de dimension 1×1 on peut mettre à l’intérieur.
L’unité de mesure de l’aire est le mètre carré, noté m².

Rectangle

L’aire d’un rectangle est sa longueur fois sa largeur

Triangle

Si on coupe un rectangle en deux en suivant sa diagonale, on obtient un triangle rectangle: pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, on calcule la moitié d’un rectangle.
Pour un triangle quelconque, on peut considérer qu’on a deux triangles rectangles:

Parallélogramme

Un parallélogramme est un rectangle et deux triangles rectangles identiques, ce qui revient à un rectangle.

Trapèze

Un trapèze est un rectangle et deux triangles rectangles non identiques.

Pourquoi cette formule

Soit
- b la petite base
- b1 la base du triangle de gauche
- b2 la base du triangle de droite
- B la grande base (b + b1 + b2)
- h la hauteur

b×h + (b1+b2)×h/2
b×h + (B-b)×h/2
2b×h/2 + (B-b)×h/2
(2b+B-b)×h/2
(b+B)×h/2

Cerf-volant

Un cerf-volant revient à un parallélogramme

Disque

L’aire d’un disque est π fois le rayon au carré.

Valeur de pi

Énoncé du problème: on prend une corde de longueur x, attachée à un piquet, et on l'utilise pour tracer un cercle autour. On aimerait connaître la quantité de surface à l'intérieur du cercle ainsi obtenu (c'est à dire l'aire du disque).
Dans le papyrus d'Ahmès, la formule suivante était utilisée: A = (d - d/9)² = (8d/9)². Donc pour un rayon de 1, diamètre de 2, (8×2/9)² ≈ 3.16. Cette formule n'est pas tout à fait juste, et plus le rayon est grand et plus l'erreur est importante.
C'est à Archimède qu'on doit les premières grandes avancées en la matière. Pour calculer l'aide d'un disque, on trace un polygone plus grand que le cercle et un polygone plus petit que le cercle. En calculant l'aire de ces polygones, on obtient un encadrement de la véritable valeur:
- En traçant un carré à l'extérieur, on peut déterminer que l'aire du disque de diamètre 1 est inférieure à 4. En traçant un hexagone (polygones à 6 côtés) à l'intérieur, que l'aire est supérieure à (6×0.5=) 3
- Pour resserer l'estimation, on augmente le nombre de côtés des polygones. Avec un dodécagone (polygone à 12 côtés), l'aire est supérieure à 3.11. En divisant chacun des côtés en deux, on obtient 24, puis 48 pour enfin arriver à un polygoner à 96 côtés: à 96, les côtés du polygone collent si bien au cercle qu'il en devient presque impossible de les distinguer à l'oeil nu et l'aire est ici plus grande que 3.1408. En utilisant ce processus avec des polygones extérieurs au cercle, l'aire est plus petite que 3.1428.
- La méthode d'Archimède peut se prolonger: on peut donc, en théorie, obtenir une approximation aussi précise que l'on veut de ce nombre, pourvu d'avoir le courage d'affronter les calculs. On devient ainsi sûr d'un certain nombre de chiffres après la virgule, et le calcul peut se prolonger presque indéfiniment pour trouver une valeur de plus en plus précise et de plus en plus longue.
Plutôt que d'effectuer des calculs avec une approximation de cette valeur, ce qui introduirait des erreurs de calculs liés à l'imprécision, on utilise une variable qu'on nomme par convention π (pi) et une fois avoir réduit l'équation au maximum, on remplace pi par sa valeur approximative (3.14 et des poussières)

Secteur circulaire

Pour calculer l’aire d’un secteur circulaire, c’est à dire d’une portion de cercle,
il faut 1. connaître l’aire du cercle et 2. connaître l’angle du secteur.
À partir de là, on calcule la proportion d’aire du secteur:

Formulaire de géométrie classique

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