Théorèmes sur les angles
Concepts: complémentaire, supplémentaire, opposé par le sommet, alterne-interne, correspondant, d’élévation, de dépression, radian, minute, seconde
Complémentaire
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Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Exemple:
Supplémentaire
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Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Exemple:
Opposé par le sommet
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Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de l’autre — autrement dit, ils sont symétriques par rapport à ce sommet.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Exemples:
Alterne-interne
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Une droite sécante à deux droites formes 4 paires d’angles. Les angles situés entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante, et non adjacents, sont dits alternes-internes.
Si ces droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont de même mesure.
Correspondant
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Les angles du même côté sont dits correspondants.
Si les droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont de même mesure.
Angles d’un triangle
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La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Exemple:
Sachant que AB et CD sont parallèles, que ACB est un angle de 2x° et CAB un angle de x+10°, quelle est la valeur de x?
Angle d’élévation
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Les termes angle d’élévation et angle de dépression sont souvent utilisés dans les énoncés de problème.
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Si vous regardez un objet situé au-dessus de vous, l’angle dont les côtés sont l’horizontale et la ligne de visée est l’angle d’élévation de l’objet.
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Inversemment, si vous regardez un objet situé au-dessous de vous, l’angle dont les côtés sont l’horizontale et la ligne de visée est l’angle de dépression de l’objet.
Radians
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Le degré est la mesure historique de l’angle, il est basé sur l’idée qu’un cercle mesure 360°. Cette valeur de 360 n’a pas de fondement mathématique, elle a été choisie pour des raisons culturelles — on considérait à cette époque qu’il y avait 360 jours par ans.
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Le radian est une unité de mesure plus récente. Un radian est définit comme l’angle interceptant un arc de cercle (L) de longueur égal au rayon du cercle (r). 1rad ≈ 57.30°.
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La circonférence d’un cercle est 2πr.
L’angle qui parcoure toute la circonférence vaut donc (2πr)/r ⇒ 2π.
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Si on ne s’intéresse pas au nombre de fois qu’on parcoure le cercle, uniquement à l’angle, alors on peut simplifier et dire que 2π = 0.
Ex: 5π = 2×2π + π = π.
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Pour convertir de degrés à radians, on multiplie par π/180.
Pour convertir de radians à degrés, on multiplie par 180/π.
Exemples:
Convertir -135° en radians. -135° × πrad/180° = -3π/4 rad ≈ -2.36 radConvertir 7rad en degrés. 7rad × 180°/πrad = 1260/π ° ≈ 401.07°
Minutes et secondes
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Parfois, les angles sont donnés en degrés, minutes et secondes.
Ex: 32°17’25’’ = 32 degrés, 17 minutes et 25 secondes.
Exemples:
Convertir 32°17'25'' à un nombre décimal de degrés. 32°17'25'' = 32° + 17/60° + 25/3600° = 32.2903°Convertir 247.3486° en degrés, minutes et secondes. 247° + (0.3486×60)' = 247° + 20.916' = 247° + 20' + (0.916×60)'' = 247° + 20' + 54.96'' = 247°20'55''