Transformations
Concepts: axe, repère, orthonormé, coordonnées, abscisse, ordonnée, côte, quadrant, transformation, isométrie, homothétie, translation, rotation, symétrie axiale, isométrique, semblable
Repères d’un plan
Axe
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Un axe est une droite utilisée comme référence pour déterminer la position, la symétrie ou la rotation d’un élément mathématique.
Repère
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Un répère est outil mathématique permettant positionner des éléments mathématiques, comme des points ou des lignes.
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On construit un repère à partir d’un point, appelé l’origine du repère, où passent des axes gradués.
L’origine du repère correspond à la graduation 0 des axes. -
Il y a autant d’axes qu’il y a de dimensons:
si on travaille en deux dimensions (longueur et largeur), alors on a deux axes. -
Si ces deux axes sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Si dans un repère orthogonal, l’unité est la même sur chacun des axes, le repère est orthonormé.
Le repère orthonormé est le type de repère le plus utilisé.
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Coordonnées
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Les coordonnées d’un point permettent de situer ce point dans l’espace.
Il existe différentes notations pour écrire les coordonnées d’un point, la plus courante est la notation cartésienne: (x ; y ; z) — ou (x ; y) si on travaille en 2D.- La première coordonnée d’un point est son abscisse, qui est sa position horizontale, notée x
- La deuxième est son ordonnée, qui est sa position verticale, notée y
- La troisième, si présente, est sa côte (ou altitude), qui est sa position en profondeur, notée z
Quadrants
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Les deux axes partagent le plan orthonormé en 4 quadrants, que l’on numérote comme suit: le quadrant en haut à droite en numéro 1, puis croissant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Transformations
Transformer
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Tranformer une figure, c’est transformer son ensemble de points en un autre ensemble de point en y appliquant une opération.
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Quand on applique une transformation à une figure, la figure qu’on obtient est appelée son image par cette transformation. Le plus souvent, pour désigner l’image d’un point par une transformation, on ajoute un ‘ (prime) au nom de ce point. Par exemple, A’ est l’image de A.
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On distingue deux grands types de transformations:
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les isométries
Sont des transformations qui ne changent pas les longueurs de la figure ni les angles. On déplace la figure sans la déformer, étirer ni réduire: l’image est superposable à la figure d’origine.
Transformations: symétrie, translation, rotation -
les homothéties
Sont des transformations qui ne conservent pas les longueurs, mais conservent les angles.
Transformations: agrandissement, réduction
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Translation
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Une translation est une transformation qui consiste à déplacer tous les points de la figure dans une même direction et même longueur.
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Appliquer une translation (a, b), c’est déplacer les points de a unités en abscisse et de b unités en ordonnée.
Exemple:
La translation ci-dessous est notée (5, -4):
on déplace le point de 5 unités vers la droite et de 4 unités vers le ba.
Rotation
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Une rotation est une transformation qui consiste à faire tourner une figure autour d’un point fixe.
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Appliquer une rotation de a°, c’est faire pivoter de a degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est ce qu’on appelle le sens direct). Et une rotation de -a°, c’est faire pivoter de a degrés dans le sens des aiguilles d’une montre (sens indirect ou rétrograde).
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On peut facilement construire l’image d’une figure par rotation
de centre l’origine du repère lorsque la mesure de l’angle est un multiple de 90°:
Exemple:
L’image de A(3,4) par une rotation de 90° est A’(-4,3)
Symétrie axiale
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Une symétrie axiale (ou symétrie orthogonale) est une transformation qui consiste à placer les points à la même distance mais du côté opposé de l’axe de symétrie.
Exemples:
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Symétrie par rapport à l’axe des x.
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Symétrie par rapport à une droite donnée.
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Homothétie
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Une homothétie est une transformation qui consiste à agrandir (ou réduire) les longueurs d’une figure.
Exemple:
Construire l’image de la figure TROPE dans l’homothétie de centre P(8,-3) et de rapport 1/2 — c’est à dire une réduction par 2 des longueurs.
Vocabulaire
Isométrique
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Des figures sont dites isométriques (ou congruantes) si elles ont les mêmes longueurs.
Ce sont des figures qu’on peut superposer après avoir appliqué des transformations isométriques: translations, rotations, symétries.
Semblable
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Des figures sont dites semblables si elles ont la même forme (même angles) mais pas nécessairement la même taille.
