Triangles

Concepts: inégalité triangulaire, propriétés, théorème de pythagore, théorème des bissectrices, triangles égaux, triangles semblables, théorème de thalès

Inégalité triangulaire

La longueur d’un côté d’un triangle est toujours strictement plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés (a < b + c). Le corrolaire de cette inégalité est que la longueur d’un côté est toujours strictement plus grande que la différence des longueurs des deux autres côtés (a - c < b)
Si x était aussi grand que la somme des deux autres côtés, alors le triangle serait complètement écrasé sur lui-même — formant un trait. Pareil si x était aussi petit que la différence des deux autres côtés.

Propriétés des triangles particuliers

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et deux sommets de même angle.
Le sommet d’angle différent des deux autres est le sommet principal.
Dire qu’un triangle est isocèle en A signifie que A est le sommet principal.

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur et les trois angles mesurent 60°.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit.
Dire qu’un triangle est rectangle en A signifie que A mesure 90°.

On appelle hypothènuse le côté opposé à l’angle droit.
C’est le côté le plus long du triangle.

Triangle rectangle isocèle

Un triangle rectangle isocèle a un angle de 90° et deux angles de 45°.
L’hypoténuse est le produit de la longueur d’un côté par racine de 2.

Demi triangle équilatéral

Un demi triangle équilatérale est un triangle rectangle qui a un angle de 30° et un angle de 60°.
L’hypoténuse est le double du plus petit côté.
Le plus grand côté de l’angle droit est le produit du plus petit par racine de 3.

Théorème de Pythagore

La longueur de l’hypothènuse au carré est égale
à la somme des carrés des deux autres longueurs (a² = b² + c²).

Exemples:

Théorème des bissectrices

Dans un triangle, si on a une bissectrice (une droite qui coupe un angle en deux angles égaux), alors le rapport entre les côtés adjacents à cet angle et les deux segments créés par la bissectrice sont égaux:

Démonstration

Exemple:

Triangles égaux

Des triangles sont dits égaux ou isométriques si on peut les faire coïncider par glissement ou rotation:
- leurs angles sont égaux
- leurs côtés ont la même longueur
On sait que deux triangles sont égaux si
1. Leurs trois côtés sont même longueur (CCC)
2. Ils ont deux côtés de même longueur et un angle de même mesure entre ces deux côtés (CAC).
  
  Deux triangles ayant des côtés de même longueur et un angle de même mesure qui n’est pas situé entre ces deux cotés ne sont pas nécessairement égaux: ce n’est le cas que si l’angle égal est opposé au côté le plus long (CCA hypoténuse).
3. Ils ont un côté de même longueur, et deux angles de même mesure — adjacents (ACA) ou non (AAC).
Lorsque les triangles sont égaux, les éléments (angles ou côtés) sont dits omologues.

Triangles semblables

Des triangles sont dits semblables lorsqu’ils ont la même forme:
ils ont des angles respectivement égaux, mais leurs côtés ont pas la même longueur.
On sait que deux triangles sont semblables si:
1. Deux de leurs angles sont égaux (AA)
2. Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux longueurs de l’autre (CCC).
  Autrement dit, les rapports des longueurs entre les deux triangles sont égaux.
3. Les longueurs de deux côtés sont proportionnelles et l’angle entre ces deux côtés est égal (CAC).
Pour deux triangles semblables, si on note k le facteur de proportionnalité permettant de passer des longueurs d’un triangle à l’autre, alors le rapport des aires est égal à k².
```
aire(A'B'C') = 1/2 * A'B' * C'D'
             = 1/2 * (kAB) * (kCD)
             = 1/2 * AB * CD * k²
             = aire(ABC) * k²
```

Exemple:

Théorème de Thalès

Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors les deux triangles créés sont semblables (puisqu’ils ont deux angles égaux) et les longueurs de l’un sont donc proportionnelles aux longueurs de l’autre.

Exemple:
On peut également utiliser le théorème de Thalès pour déterminer si deux droites sont parallèles: si les rapports des longueurs sont égaux, alors les droites sont parallèle. C’est la réciproque du théorème de Thalès.

Exemple:

Théorème des milieux

Si un segment est sécant au milieu de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième et sa longueur est la moitié de ce troisième côté.

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