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Sommaire: Notation

• Énoncé
• Intervalles
• Ensembles
• Quantificateurs
• Connecteurs
• Sous-ensembles

Notation

Concepts: intervalles, ensembles, sous-ensembles, quantificateurs, connecteurs

Énoncé

• Un énoncé est un texte exposant les données qu’on connaît et/ou qu’on doit résoudre / démontrer. Les informations de l’énoncé peuvent être écrites

  • en langage courant
    Ex: Le carré de tout réel est un réel positif

  • ou en symboles mathématiques.
    Ex: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 (pour tout x appartenant à l’ensemble des réels, le carré de x est supérieur ou égal à 0)

Intervalles

• Un intervalle est un ensemble de valeurs comprises entre deux bornes.
  Un intervalle peut être

  • ouvert: les bornes ne font pas partie de l’intervalle.
    Ex: ]-1, 4[ désigne les valeurs de -1 à 4, -1 et 4 exclus.

  • fermé: les bornes font partie de l’intervalle
    Ex: [-2, 3] désigne les valeurs de -2 à 3, -2 et 3 inclus.

  • ou semi-ouvert: une seule des deux bornes fait partie de l’intervalle.
    Ex: ]-1, 3] désigne les valeurs de -1 à 3, -1 inclus et 3 exclus.

  Exemples:

  

• Lorsque les deux bornes de l’intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné.
  Lorsqu’une ou deux bornes sont l’infini, alors l’intervalle est dit non borné.

  Examples d’intervalles non bornés:

  [13; +∞[ 
  ]-∞; 13]  
  ]-∞; +∞[
  

Ensembles

• Un ensemble représente une collection d’objets.

• Les nombres sont classés en différents ensembles en fonction de leurs caractéristiques:

  Notation	Ensemble
  ℕ	Naturels (0,1,2,…): servent à dénombrer
  ℤ	Entiers ou relatifs (-2,1,0,…): nombres naturels et leurs opposés
  ℝ	Réls (√2, 1.68, π): nombres admettant des chiffres après la virgule ℝ* réels non nuls ℝ+ réels positifs ℝ+* réeels strictement positifs
  ℚ	Rationnels (1/3,0.2,…): nombres réels pouvant s’exprimer en fraction
  ℚ’	Irrationnels (√11,e,…): nombres réels ne pouvant pas s’exprimer en fraction
  ⅅ	Décimaux (3.12,4/7,…): nombres rationnels ayant un nombre fini de chiffres
  ℂ	Complexes (ex 1 + 1i): nombres composés d’une partie réelle et imaginaire
  ∅ ou {}	Ensemble vide

  

• Pour définir un ensemble personnalisé, on peut

  • définir la liste des valeurs possibles: E = {1,2,3,4}
    Les points de suspension peuvent être utilisés pour des ensembles ayant beaucoup d’éléments: {1,2,…,1000}

  • ou définir les bornes de l’ensemble avec un intervalle: E = [0; +∞[
    La notation [n] est souvent utilisée pour signifier {1,2,…,n}.

  • ou encore faire un mix des deux
    Par exemple: {x ∈ [99]: 2|x} signifie tous les éléments pairs de 1 à 99

• Pour rappel:

  • ∈: appartient
  • ∉: n’appartient pas
  • ⊂: est inclus dans / est une partie de

Quantificateurs

• Parmis les symboles mathématiques souvent utilisés on trouve les quantificateurs:

  • ∀ : pour tout
  • ∃ : il existe (au moins un)
  • ∃! : il existe un unique

  Exemples:

  • ∀x ∈ ℝ^* ∃!y ∈ ℝ^* xy = 1

    Pour tout x réel non nul, il existe un unique réel y non nul tel que le produit xy soit égal à 1.

  • ∀x ∃y (x < y)

    Pour tout x, il existe au moins un y, tel que x est inférieur à y (admet un y différent pour chaque x)

  • ∃y ∀x (x < y)

    Il existe au moins un y, tel que pour tout x, x est inférieur à y (un même y marche avec tous les x)

  • f(x) ≥ f(b) ∀ x ∈ [a,b]

    f(x) est supérieur ou égal à f(b) pour tout x dans l’intervalle a..b (bornes inclues).

Connecteurs

• Les connecteurs sont également souvent utilisés:

  • ¬ : négation
  • ∧ : et (conjonction)
  • ∨ : ou (disjonction)
  • ⊻ : ou exclusif
  • | : sachant que
  • / : tel que
  • \ : sauf
  • ⇔ ou ≡ : est équivalent à
  • ⇒ : implique que
  • {} : l’ensemble des conditions listées doivent être réunies (et)

  Exemples:

  • x < 3 ∧ x > 1

    x est compris entre 1 et 3 (1 < x < 3)
    On pourrait aussi écrire x ∈ ]1; 3[

  • {2n + 1 | n ∈ ℤ}

    n est un entier impair

  • {y² | y ∈ ℕ et y ≥ 1}

    y est un carré parfait non nul

  • { x ∈ ℝ / x ∈ ]-1; 4[ }

    x est un nombre réel entre -1 et 4 (bornes exclues).

Sous-ensembles

• Les symboles des sous-ensembles:

  • ⊂ : sous-ensemble
  • ∩ : intersection
  • ∪ : union

• A ⊂ B
  A est un sous-ensemble de B
  Tous les éléments de A appartiennent à B.
  Si A peut être égal à B, on utilise ⊆

  

• A ∩ B
  L’intersection de A et B
  Tous les éléments qui sont à la fois dans A et B
  ∧ est lié à l’intersection: x ∈ A ∧ x ∈ B signifie x ∈ A ∩ B

  

• A ∪ B
  L’union de A et B
  Tous les éléments qui sont dans A, dans B, ou les deux
  ∨ est lié à l’union: x ∈ A ∨ x ∈ B signifie x ∈ A ∪ B

  

• A ∖ B
  La différence entre A et B
  Tous les éléments de A qui ne sont pas dans B

  

  Ou alors, la complémentaire de B dans A — on exlut un sous-ensemble de A.
  On peut utiliser A ∖ B ou ∁_AB. Si A est sans ambiguité, on peut simplement écrire ∁B ou B̅.

  

• A △ B
  La différence symétrique entre A et B
  Tous les éléments qui sont dans A ou B, mais pas les deux

  

Ensembles et sous-ensembles

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