Fonction quadratique

Concepts: sommet, convexe, concave, taux de variation moyen, intersection avec les abscisses, calculer le sommet, tracer une parabole

Allure générale

Une fonction quadratique ou fonction de second degré s’écrit sous la forme f(x) = ax² + bx + c et représente une relation courbe — quand on la trace sur un graphique, on obtient une parabole.

Exemple:

ax² + bx +c = y est une équation écrite sous forme réduite.
Les formes les plus courantes pour une fonction quadratique sont:

forme factorisée: sous forme de produits.
Permet de trouver facilement les points d’intersection avec x (résoudre f(x) = 0)
forme canonique: sous forme d’un carré et d’une constante.
Permet de trouver facilement le sommet.
forme réduite: développée et réduite au maximum.
Permet de trouver facilement le point d’intersection avec y (calculer f(0))

Forme	Exemple
Réduite	2x² + 16x + 24
Canonique	2(x + 4)² - 8
Factorisée	2(x + 6)(x + 2)

Fonction carrée

La fonction carrée est la fonction définie sur ℝ par x ⟼ x². Autrement dit, f(x) = x²
Elle admet pour minimum 0 en x=0.
Dans un repère orthogonal, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car deux nombres opposés ont le même carré, quelque soit le réel — (x)² = (-x)². On dit que la fonction carré est paire

Sommet d’un parabole

Une parabole n’a qu’un seul extremum, qu’on appelle le sommet. Le sommet est soit la valeur minimum des images soit la valeur maximum suivant le sens dans lequel la parabole est orientée. La parabole est symétrique par ce sommet.

Convexe ou concave

Une parabole est dite convexe si son sommet est sa valeur minimale (⋃) — convexe comme un verre.
C’est le cas si le coefficient de plus haut degré (a dans ax²+ bx + c) est positif.
Et concave si son sommet est sa valeur maximale (⋂) — concave comme une colline.
C’est le cas si le coefficient de plus haut degré (a dans ax²+ bx + c) est négatif.

Taux de variation moyen

Une courbe peut être plus ou moins inclinée, mais sa pente varie suivant le point où on regarde.
Pour se donner une idée de l’allure d’une courbe, on calcule le taux de variation moyen, c’est à dire la pente moyenne, sur un intervalle donné.
Le taux de variation moyen de la fonction f sur l’intervalle [a, b] est:

Exemple:

Graphiquement, le taux de variation moyen est égal au coefficient directeur de la sécante à la courbe (représentative de la fonction f) qui passe par les points (a;f(a)) et (b;f(b)).

Calculer les intersections avec les abscisses

Pour trouver les intersections avec les abscisses, il faut trouver les valeurs pour lesquelles y=0.
Autrement dit, il faut résoudre l’équation.
Il y a autant d’intersections avec l’axe des abcisses qu’il y a de solutions.

Soit f(x) = x² + 6x + 8.
Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0?

   x² + 6x + 8 = 0
(x + 2)(x + 4) = 0

Solution 1:
  x + 2 = 0
      x = -2

Solution 2:
  x + 4 = 0
      x = -4

Les deux points d'intersection de la parabole sont -2 et -4.

Soit g(x) = (x - 12)² - 30.25
Calculer la position des intersections avec les abscisses.

(x - 12)² - 30.25 = 0
        (x - 12)² = 30.25
       √(x - 12)² = √(30.25)
           x - 12 = ±5.5

Solution 1:
  x - 12 = 5.5
       x = 17.5

Solution 2:
  x - 12 = -5.5
       x = 6.5

Les points d'intersection de la parabole sont x=6.5 et x=17.5.

Calculer le sommet

Pour trouver le sommet de la parabole, on peut

utiliser la formule suivante:

x = -b/2a

 Trouver le sommet de la parabole ayant pour
 équation y = -2x² + 8x + 8

 x = -b/2a
   = -8/2(-2)
   = 8/4
   = 2

 y = -2⋅2² + 8⋅2 + 8
   = -2⋅4 + 16 + 8
   = -8 + 16 + 8
   = 16

 Le sommet de la parabole est (2;16)

calculer le milieu des points d’intersection avec les abscisses — le sommet se situe au centre.
Si la parabole n’a qu’un seul point d’intersection avec les abscisses, c’est que le sommet est sur les abscisses.

 Soit f(x) = x² + 6x + 8
 La parabole a deux points d'intersection: -2 et -4.  
 Calculer la position du sommet

 x = (-2 + -4)/2
   = -6/2
   = -3

 y = (-3)² + -3⋅6 + 8
   = 9 - 18 + 8
   = -1

 Le sommet de la parabole est (-3;-1)

 Soit f(x) = x² - 5x + 6
 La parabole a deux points d'intersection: 2 et 3.
 Calculer la position du sommet

 x = (2 + 3)/2
   = 5/2

 y = (5/2)² - 5(5/2) + 6
   = 25/4 - 25/2 + 6
   = 25/4 - 50/4 + 24/4
   = -1/4

 Le sommet de la parabole est (5/2; -1/4), soit (2.5; -0.25)

écrire l’équation sous forme canonique et utiliser la relation suivante:

f(x) = a(x - h)² + k a pour sommet (h; k)

 Soit f(x) = 3(x + 1)² - 12.
 Calculer la position du sommet.

 h = 1
 k = -12

 Le sommet de la parabole est (-1; -12)

 Soit y = -2(x - 2)² + 16.
 Calculer la position du sommet.

 h = -2
 k = 16

 Le sommet de la parabole est (2; 16)

Tracer le graphique d’une parabole

On peut calculer les points d’intersection avec les abscisses, c’est à dire résoudre l’équation f(x) = 0.
Ou, si la parabole n’a pas d’intersection avec les abcisses: trouver le point d’intersection avec l’ordonnée, c’est à dire calculer f(0)
Trouver le sommet de la parabole.
Placer les points sur le graphique et tracer une parabole passant par ces points.

Exemple a:

Exemple b:

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