Fonction

Concepts: image, antécédant, ensemble de définition, extremum, ensemble des images, positive, négative, croissante, décroissante

Définition

Pour rappel, une fonction est une règle qui établit la relation entre deux inconnues (ou plus).
Terminologie d’algèbre

Réecrire une équation en fonction

Pour écrire une fonction, il faut isoler y d’un côté de l’équation:

Les nombres x et y sont liés par la relation suivante:  
-5x - 4y = -8

Réecrire cette équation sous forme de fonction, telle que y = f(x)
-5x - 4y = -8
     -4y = -8 + 5x
       y = (-8 + 5x)/(-4)
       y = 2 - (5/4)x

f(x) = 2 - (5/4)x

Image et antécédant

Toute fonction a

une variable indépendante (ou plusieurs), aussi appelée antécédant
C’est la variable donnée en entrée à la fonction. Traditionnellement, on nomme la variable indépendante x. Et s’il y en a plusieurs, on les nomme généralement x₁, x₂, etc.
une variable dépendante ou image
C’est la variable calculée à partir des variables indépendantes — c’est à dire le résultat de la fonction.
Traditionnelllement, on nomme la variable dépendante y.

Calculer l’image d’un nombre

Pour calculer y sachant x, on remplace la valeur de x dans l’équation et y est le résultat de la fonction.

Dans f(x) = 49 + x², quel est l'image de 5?

f(5) = 49 - 5²
     = 49 - 25
     = 24

L'image de 5 est 24.  
On peut aussi dire que l'antécédant de 24 est 5.

Calculer l’antécédant d’un nombre

Pour calculer x sachant y, on remplace la valeur y dans l’équation et on résout l’équation.

Dans h(x) = -4x + 15, quel est le ou les antécédants de -13?

   -13 = -4x + 15
-13-15 = -4x
   -28 = -4x
  28/4 = x
     7 = x

L'antécédant de -13 est 7.  
On peut aussi dire que l'image de 7 est -13.

Courbe représentative

Pour construire une courbe représentant une fonction f, définie sur D:
1. choisir un repère,
2. construire tous les points dont l’abscisse est un nombre de D et l’ordonnée est l’image de l’abscisse

Lire l’image ou l’antécédant d’un nombre

On peut éventuellement lire les valeurs sur un graphique — si elles sont entières.
Par convention, x est en abscisse (horizontal) et y en ordonnée (vertical).

Exemple:

L’image de 2 est 5.
Les antécédants de 2 sont -1 et -5.

Intervalles

Ensemble de définition

L’ensemble de définition (ou domaine de définition) est l’intervalle sur lequel la fonction existe.
On ne peut pas calculer f(x) si x est en dehors de l’intervalle.

Exemples:
Soit D, l’ensemble de définition de la fonction f. Définir sur fonction f sur D, c’est donner un procédé (une formule, une situation concrète) qui à chaque nombre de D associe un (et un seul) réel.
En notation mathématique, “f : D ⟶ ℝ, x ⟼ y” se lit “f est la fonction de D vers ℝ qui a tout nombre x associe y”

Extremum

Un extremum est un minimum ou maximum.
Un extremum est dit global (ou absolu) s’il s’agit d’un extremum sur l’intervalle de définition de la fonction.
Et il est dit local (ou relatif) s’il s’agit d’un extremum sur un intervalle inférieur à l’intervalle de définition.
Toutes les fonctions n’ont pas forcemment d’extrêmum — par exemple si la fonction tend vers l’infini.

Ensemble des images

L’ensemble des images est l’ensemble des valeurs possibles des images.
Il se situe entre les deux extremums (s’il y en a).

Exemples:

Fonction positive

Une fonction est dite positive sur un intervalle quand l’image est supérieure à 0.
Et négative sur un intervalle quand l’image est inférieure à 0.

Fonction croissante

Une fonction est dite croissante sur un intervalle quand augmenter x augmente y.
On peut aussi dire qu’elle a une pente positive.

Elle est dite décroissante sur un intervalle quand augmenter x diminue y.
On peut aussi dire qu’elle a une pente négative.
Soit f une fonction définie sur un ensemble D, et I un intervalle inclut dans D
- Si f est croissante sur I: quelque soit a ∈ I et b ∈ I, si a < b alors f(a) ≤ f(b).
  Autrement dit, le plus petit nombre a la plus petite image.
  On dit aussi que f conserve l’ordre sur I.
- Si f est décroissante sur I: quelque soit a ∈ I et b ∈ I, si a < b alors f(a) ≤ f(b).
  Autrement dit, le plus grand nombre a la plus petite image.
  On dit aussi que f modifie l’ordre sur I
- Si f est constante sur I: quelque soit a ∈ I et b ∈ I, alors f(a) = f(b)

Sens de variation

Étudier le sens de variation de f, c’est découper son ensemble de définition D en intervalles sur lesquels f est soit croissante soit décroissante soit constante. On consigne les résultats dans un tableau de variation de f.

Nomenclature

Une fonction qui ne contient aucune inconnue est dite constante.
Une fonction contenant des inconnues dont le plus haut degré est 1, est dit affine.
Si le plus haut degré est 2, elle est dite quadratique.
Et si le plus haut degré est 3, elle est dite cubique.

Degré	Nom	Formule générale
0	Constante	`f(x) = a`
1	Affine	`f(x) = ax + b`
2	Quadratique	`f(x) = ax² + bx + c`
3	Cubique	`f(x) = ax³ + bx² + cx + d`

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